從國中到高中，數學的難度如斷層般提高不少，小孩喜歡挑戰我的權威，所以時時拋出題目向我「請教」。高一學期末教到對數，利用對數的四則運算，配合著指數、二元二次方程式，可變化組合出許多看似毫無道理的難題，每個題目都需要一些訣竅去破解。只是這些破解技巧，多不屬邏輯所能推導，必須靈光一閃，或經一再的熟習，又或是補習班名師的講解。於普通人觀之，除了鍛鍊腦力之外(譬如參加數學奧林匹亞競賽)，和日常生活毫不相干，也因此成為許多人自小畏懼數學的原因，並不斷讓人質疑：學了又如何？不會又如何？
回想自己的數學學習過程，小學與國中只能稱作「算數」，用於熟悉數字及其運算原則，高中一開始便是相當陌生的「數論」，因得初窺「數學」領域，其後三角幾何、多元多次以及機率、邏輯、統計和微積分理論一路學習下來，多是懵懵懂懂，必須到大學、研究所階段的工程數學方與實務結合，也多少才瞭解其價值所在，可從來就不曾拉高視野去探究「數學」堂奧。舉例而言，就幾何領域，歐基里德的「幾何原本Elements」堪稱極重要的基礎，但國中、甚至高中老師在考試引導教學的大綱下，從未真正教授過，以致於我對所謂定義、公設和證明的理解，居然遲到讀完這本「爺爺的證明題」才窺得其邏輯脈絡。
「爺爺的證明題」以兩條主線書寫，其一是大學教授的課程「思考無限」，以數學領域中的「無限」數論遍及哲學思維；另一條主線則發生在幾十年前，從探究主角爺爺身陷牢獄的原由，一步步揭開一場宗教vs數學的反覆辯證。中文譯著的副標題「上帝存在嗎？」頗具戰帖意味，不過英文書名的副標題只簡簡單單的A Mathematical Novel。就我讀過的「數學小說」而言，「博士熱愛的算式」猶如小學生般擺弄數字，看似奇炫，其實無太多道理可堪探究，且其書寫邏輯大有問題。相對的，這本書談論的數學理論十分值得思索，尤其是有關「無限」的度量問題讓我大開眼界，讓我理解原來所謂的「無限」仍存在可相互比較的尺度。但更重要的是，它利用一套嚴謹的推理模式，意圖解決宗教問題，雖然這部分我早已建構出「科學的歸科學、宗教的歸宗教」這一套簡單的原則，仍有許多可觀處，其中之一，便是「歐式幾何」與「非歐幾何」的差異。
現代平面幾何並非肇始自「幾何原本」，歐基里德僅著力於集大成，但因此奠定數學的嚴謹美學成為他最大的貢獻。在「幾何原本」書中，歐式利用23個定義(譬如點沒有面積、線只有長度而沒有寬度、線的兩端是點等等)，5條不證自明的公設(書中譯作「設準」，但這兩個字很不數學，我仍是偏好「公設」)，包括：
1. 由任意一點向另一點可做直線；
2. 一條直線可以被延長；
3. 以任意圓心和任意半徑可做圓；
4. 直角皆相等；
5. 同一平面內一直線於另外兩條直線相交，如果同一側相交所成的兩內角之和小於二直角，那麼這兩條直線於這一側相交。
便足以推導出包括三角形的相似、全等，以及我們熟知的「畢氏定理」等種種定理。這種由簡至繁的推理方式，唯一的依靠就是縝密的邏輯方法，也因此讓數學成為科學重要的支柱，甚至賦予了它莊嚴堂皇之美。
「歐式幾何」揭櫫了邏輯的真善美，但從上述有關「公設」的敘述中可發現，公設5(平行公設)落落長的說明，顯然和前4則公設大大不同，不斷讓後人思忖到底需不需要這一則公設？單靠前4則公設，夠不夠證明出公設5？這種種懷疑和研究延續千年，也因而發展出一套「非歐幾何」。書中舉了一個典型的非歐幾何模型，如圖：
定義此圓為一平面，但圓的邊緣不屬於平面，所以點A、B分別用小圓圈取代。P點是平面上位於直線AB外部的一點，通過P點可作2條直線PA、PB，但由於A、B不在平面上，所以不論PA或PB都不與AB相交，也就是說，按照平行線的定義，PA、PB和AB相互平行，在我們的直觀中是完全不可能的！
為什麼「非歐幾何」如此重要？因為它打破了我們對平面世界的直觀想像，在「爺爺的證明題」一書中，也成為身陷囚籠的爺爺和法官之間相互解套的模型。爺爺是來自印度的訪問學者，秉持嚴謹的數學邏輯精神，因基督信仰並無法找到ㄧ個「不證自明」的起始「公設」，所以拒絕承認上帝的存在，而被當時的美國法律訴以褻瀆上帝之罪。法官在訪談中，爺爺藉「歐式幾何」向法官展示數學邏輯之美，而身為虔誠信徒的法官雖瞭解爺爺的立論，也一心希望能不起訴他，但卻遲遲無法找到打破這套邏輯的方法。這糾纏多時的辨證，終於在翻找出「非歐幾何」，以及在愛因斯坦的相對論證據得到實驗證明之後(重力引致之光曲現象)，兩人都透了一口氣，各自安心了，因為邏輯之美依舊存在，只是起始定義不同而已，數學與信仰也因此可各自尋得安身立命的處所，而毋須相互攻擊。
原著書名A Certain Ambiguity（我譯做「確定的模糊」）很值得深思。數理邏輯並不存在模糊空間，「違反邏輯」在理論推導時可視作反向證明，這種嚴謹態度也出現在信仰一事，因為「上帝的存在」同樣不容模糊。只是當兩者碰撞、相互質疑和挑戰時，兩敗俱傷是一種解決方式，而另一種，大致便是如同此書的結尾，同中求異且異中求同，各自退讓一步便能找出彼此同享存在的模糊空間。這是一本具相當難度的小說，作者雖說明了書中數學部份可為一般讀者接受，但我相信若非具有理工背景，「無限」概念和數學證明所形成的高門檻絕對會讓人心生畏懼，不過若能跨過，可輕易在作者信手拈來，或偽作的歷史典故中，挖掘出不少屬於自己的推理樂趣。
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