前言
同一個字詞，在不同人心裡的意思是不一樣的。作者以美式英語與英式英語的「football」為例，英國人解讀為足球，美國人認為是橄欖球，引出數學教學界也存在著這樣的問題，而且不僅僅是對於學內容上的數學專有名詞。
作者認為，造成數學教育整體失敗的最大原因，在於「老師」和「學生」的其中之一或雙方，竟然都不知道什麼是「數學」以及什麼是「理解」。
什麼是「理解」
作者先說明當時許多老師或學生自以為的「理解」，是指老師能夠教導學生正確的使用數學的公式，而學生能夠正確的使用公式解題，就是已經理解了。作者認為這不是他所認為的理解，充其量，他把這種牽強的「理解」，雅稱為「機械式理解」。
相對於機械式理解，作者所認為的「理解」，是學生能真正理解每一個數學學理是怎麼建構的。例如面積公式長方形面積，為什麼「長」乘以「寬」就能夠算出面積？這有它的學理論證，老師必須能說服學生，讓學生能說服自己，甚至學生應該還能夠用這套道理由說服其他的同學，這才是真正的理解，作者謙虛的稱它為「因果式理解」，也就是「知其然，亦知其所以然」的理解。
有了真正的理解後，學生才能夠以這個理解，在未來去學習其他的理解，所有的理解都是堆疊在正確的先備理解上，從來沒有一個公式或定理是「只靠背」的。作者並不排斥、排除，甚至肯定「背」的重要，背也要背，因為背了才能熟用，就算是真懂的人，也不會是每次應用公式都必須重新推導一次，反而是背了以後，對於往後的理解，才能夠騰出更多的腦力，只是，數學的學習絕不是只有背。
什麼是「數學」
作者對這個問題沒有說清楚，可能是因為他寫得激動了便忘了說，但依其前後文所表達的精神，其實這個問題和前面所說「什麼是理解」似乎是同一個問題的情緒衍生版。因為作者提到「什麼是數學」問題時的表態，意思是「如果數學的學習只停留在老師塞給學生他們不理解、不想理解、無法理解的公式，來應付侷限的問題，從不知其所以然，更不會去推導、延伸他們有意義的知識，那他們所學的其實並不是數學，只是一堆很容易被厭惡、忘記的廢物」。換言之，作者認為，學生學的「數學」是不是數學，定義於他們學習的方法，也定義於老師怎麼教他們的。
「因果式理解」重要性整理（不只是作者的條列，還有我從其他內文析出的）
- 只有因果式理解才是真的理解
- 由因果式理解所學習的數學才是真的在學「數學」
- 因果式理解而學到的數學規則，不是用背的，而是用理解的，所以不用記（作者說比較好記）、不會忘、忘了可以自己推導。
- 機械式理解只能解決單一的問題，問題一變，就失靈了，而因果式理解能舉一反三、以不同的角度去解讀、去應用。
- 因果式理解由於所學都是「理解」，這些理解，和別的章節、未來的知識架構都是互通的，它們將交叉驗證，形成一個牢不可破的認知面，而不是能被個個擊破的認知點或線。同一個問題，經過因果式理解學習到一定的知識量後，可以用很多不同的方法解題，殊途同歸。就像「路痴」為什麼會成為路痴？因為他的理解都只是無意義的記憶，對「路」的記憶，路線與路線之間沒有關連性，每條路線都是獨立的記憶，導致記憶量龐大到根本就記不住。而不是路痴的人，記的是一個面，內容是由粗到細，的認知先後結構，是方向、相對位置與距離的資訊，使他們可以從任何地方，前往任何地方，而且途經的路線隨心所欲，走偏了還可以隨時修正。
- 遇到新問題具有適應力。
- 喜歡學習新東西，因為只有因果式理解符合人性的求知慾。
不求甚解的「機械式理解」學風的成因與改變陋習的困難處
- 比較好教----老師只要叫學生背，他不會教甚至自己不太懂也沒有關係。
- 比較好學----學生過去的機械式學習、背誦式學習已經持續一段時日，許多學生的理解力被斲喪了，竟甘於背誦，放棄理解，「不想聽老師講這麼多廢話，公式端出來就好」。
- 報酬快----有背就有分，有背就能應付當次的月考，以考試為目標的師長最喜歡用這招拉成績，對家長也討喜。曾有同事勸我：這些學生的程度已經不好了，不要想跟他們說什麼大道理，就算讓他們用錯誤的學習方法，只求他們願意把解題步驟背一背，讓他們考試時能依賴基本題拿得到一點基本分數，以免打擊他們的進取心，比較重要。
- 受限於教學考試進度的壓力與學生理解速度跟不上的雙面夾殺，逼得老師狗急跳牆：「你們還是先把公式背起來吧！」
- 課程編排的問題：數學還沒有教，理化已經要用到；數學的程度還沒有能夠教會理解的方法，但是現階段的應用問題已經要用到公式（我認為其實是既成的課程刻板印象，這是可以改的，而目前這個問題已經很少見了）。
- 同仁普遍的僵化、家長水準低，使機械式理解（填鴨式教學）反受家長肯定，被迫隨俗。或是學生在過去數年，受到前幾任老師都用機械式理解的教學後，遺留下來千瘡百孔的迷思概念，要由後面接手的老師，一面重建他們的認知（補他們前面的洞），一面受迫於新的教學進度，可說是難上加難。
- 因果式理解有沒有深植學生的內心，需要消耗相當多的教學精力：必須逐條的看學生的解題過程，從列式的方式，研判學生列式時的想法（還必須加上保「證學生作業不會抄安親班解答」的前提，否則作業都是白改的，偏偏這在臺灣是笑話）。（只有）極少數卓越的教師，甚至要求學生結合作文能力，寫下他對所學的理解（如「數學日記」、「閱讀數學」、「數學報告」等）。透過越多的「不只看答案」的數學作業批閱，還有課堂上充分的對話，才能對於學生是否沈浸在充分的理解中，有充分的掌握。
哈爾濱市北郊，太陽島公園冬季夕景。
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