24h購物| | PChome| 登入
2011-08-27 15:43:44| 人氣1,186| 回應0 | 上一篇 | 下一篇

d739. 最少路径覆盖

推薦 0 收藏 0 轉貼0 訂閱站台

內容 :

这题是一道关于图论的题目。

为了让大家容易理解题意,题目就没有什么背景啊、故事啊什么的。

就直接奔入主题吧!

有向无环图G(V,E)的一个路径覆盖是指一个路径集合P,满足图中的每点属于且仅属于集合中的一条路径。

由于出题者不知道如何上传图片,就用数字来解释吧。

考虑一个有5个顶点的有向无环图,有6条路径为

1->3

2->3

2->5

3->4

3->5

4->5

那么最少路径覆盖|P|min=2,

有三种方案:

A.{1->3->4->5, 2}

B.{2->3->4->5, 1}

C.{1->3->4, 2->5}

现在,聪明的你应该知道了你的任务就是:

给你一个有向无环图G=(V,E),求一个包含路径数最少的路径覆盖P。

輸入說明 :

输入测试数据有多笔。

每组测资的第一行是两个数n和m,分别代表有向无环图的节点数和接下来的信息数。

接下来m行,每行都是一对数x和y,表示存在一条路使得x可以不通过其他节点而直接到达y,即x->y。

当 x=y=0 时,代表输入结束,不必对这笔输入输出任何字符。

輸出說明 :

对于每组测资,输出这个有向无环图的最少路径覆盖数。

範例輸入 :

5 6
1 3
2 3
2 5
3 4
3 5
4 5
0 0

範例輸出 :

2

提示 :

由于为了保证有向图无环且无重边,所以测资很难生。

所以测资保证有

1<=n<=100

0<=m<=n*(n+1)/2

且有向图中一定没有环,也没有重边。

但是还希望大家将程序写得有效率一点,让它可以过掉n=1000的测资吧!

这对大家一定是一个挑战!

出處 :

图论经典 (管理:liouzhou_101)



作法轉載自 http://www.cppblog.com/jericho/archive/2011/03/05/141175.aspx

题意:
有向无环图中,需要多少条简单路可以覆盖整个图。

建模:
构造二分图。把原图的每个顶点i拆分成二分图X,Y集合中的两个顶点Xi和Yi。对于原图的边(i, i),连接(Xi, Yj),值为1,然后把二分图最大匹配模型转化为网络留模型,求最大流。

分析:

对于一个路径覆盖,有如下性质:

1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外,从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。

所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点,一个是出发,一个是目标,建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案,都对应了一个路径覆盖方案。如果匹 配数为0,那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边,那么路径覆盖数就减少一个,所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少,则应最大化匹配数,所以要求二分图的最大匹配。

注意,此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图,如果有环或是无向图,那么有可能求出的一些环覆盖,而不是路径覆盖。


/**********************************************************************************/
/*  Problem: d739 "最少路径覆盖" from 图论经典                          */
/*  Language: C                                                                   */
/*  Result: AC (22ms, 384KB) on ZeroJudge                                         */
/*  Author: morris1028 at 2011-08-27 15:12:02                                     */
/**********************************************************************************/


#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define MaxV 10000000
#define MinV 0
int Map[202][202];
int max_flow(int st, int ed, int n) {
    int maxflow = 0, tn , tw;
    int pre[202], V[202], a, b;
    int Q[100001], Qt;
    while(1) {
        int Used[201] = {};
        for(a = 0; a <= n; a++)    V[a] = MinV;
        V[st] = MaxV;
        Qt = 0, Q[0] = st, pre[st] = st;
        for(a = 0; a <= Qt; a++) {
            tn = Q[a], Used[tn] = 0;
            for(b = 1; b <= n; b++) {
                tw = (V[tn] < Map[tn][b]) ? V[tn] : Map[tn][b];
                if(tw > V[b]) {
                    V[b] = tw, pre[b] = tn;
                    if(Used[b] == 0)
                        Q[++Qt] = b, Used[b] = 1;
                }
            }
        }
        if(V[ed] == 0) break;
        maxflow += V[ed];
        for(a = ed; a != st; a = pre[a]) {
            Map[pre[a]][a] -= V[ed], Map[a][pre[a]] += V[ed];
        }
    }
    return maxflow;
}
main() {
    int n, m, x, y, a;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) == 2) {
        if(n == 0 && m == 0)
            break;
        memset(Map, 0, sizeof(Map));
        int st = 0, ed = 2*n+1;
        for(a = 0; a < m; a++)
            scanf("%d %d", &x, &y), Map[x][n+y] = 1;
        for(a = 1; a <= n; a++)
            Map[st][a] = 1, Map[a+n][ed] = 1;
        printf("%d\n", n-max_flow(st, ed, 2*n+1));
    }
    return 0;
}

台長: Morris
人氣(1,186) | 回應(0)| 推薦 (0)| 收藏 (0)| 轉寄
全站分類: 不分類 | 個人分類: ZeroJudge |
此分類下一篇:a194. 死亡 FLAG
此分類上一篇:a229. 括號匹配問題

是 (若未登入"個人新聞台帳號"則看不到回覆唷!)
* 請輸入識別碼:
請輸入圖片中算式的結果(可能為0) 
(有*為必填)
TOP
詳全文