《咖啡屋內的凝思－－想到哪就寫到那的物理日記》之二
（十三）勞工節
今天，9月1日，2007 年勞工節長週末的第一天，天氣出奇的熱，預報的氣溫今天將超過華氏一百度，九月初的加州南灣，竟也有秋老虎這回事。但早晚還是很涼，通常都是從中午起太陽才開始變酷，然後越來越酷，一直要酷到它從西邊靠海一側的山脊上掉落下去才讓人松口氣。現在正好是正午，近中午時分，還不算太熱的氣流，就開始從陽台上向我沒有安裝空調器的居室倒灌，把它變成一個幾乎不能住人的大悶罐。但好在我已經在太陽轉酷之前就坐進了這個咖啡屋，並且支起了筆記電腦再接通壁櫥內的電源座，開始了思索，僈僈地敲打鍵盤，輸入文字。
今天坐在裏面的客人還是不多，只有兩張高桌坐了幾位常客在輕聲談笑。進入的客人多數只是買了咖啡與食品便轉身離去。靠落地大窗側的五張小桌多半是空著的，那最後的一張小桌就是我的專座。空氣中有時會有古典鋼琴曲的音符，也會播報一些新聞或實況的球賽，但聲音都不太嚮。引不起我的注意，卻可以調適心情，好過家裏那種過份的寂靜。
☆ 天氣出奇的熱，預報的氣溫今天將超過一百度 ☆
（十四）尋找度規函數的方法
現在問題已集中到慣性空間的度規函數上了。也就是說，用什麼樣的方法去求得此種能反映真實慣性空間時空結構的度規函數？對於物理學，求解某種未知的物理函數，是有一些標準的作業方法的。它往往是這樣的：第一步是為該命題設定一些原理；第二步再在原理的基礎上建立起某種物理方程；第三步，也是最後的一步，就是在給定的物理條件（從數學角度講就是邊界條件）下求出方程的解。所以要求得慣性空間的度規函數，我們首先需要確定一種方程。
例如對於電磁場，所建立的方程就麥克斯韋方程與亥姆霍茲方程等；對量子場，就是薛定諤方程與狄拉克方程等；而主流物理學在尋求時空度規時也建立過一種方程，它就是愛因斯坦在 1915 年所提出的「愛因斯坦方程」（又稱引力場的場方程）。
所以愛因斯坦提出「愛因斯坦方程」的目的，與本文的主題是相同的，都是為了求解這種「物質所在空間」的度規函數。愛因斯坦方程的解實際上就是時空的度規函數。所以我們常將Schwarzschild在1916年所求出的該方程的第一個解稱做為Schwarzschild度規；也將Kerr在1963年所求得的另一個解稱之為 Kerr度規。
☆ 九月初的加州南灣，竟也有秋老虎這回事 ☆
（十五）愛因斯坦方程是如何建立的（上）
這裏要回顧一下愛因斯坦方程的建立過程，這對本文的討論非常重要。為了求解度規函數，愛因斯坦建立了一個名為「愛因斯坦方程」的非線性偏微分方程。愛因斯坦的想法是這樣：自然界中最基本的動量－能量守恒定理，從張量分析的數學角度來看，無非就是一個兩階逆變張量的其中一個指標求協變微商後恒為零值，它可表示為：
Ｔ(ij)；j = ０ (15.1)
此處Ｔ(ij)代表動量－能量的兩階逆變張量，符號「；」代表協變微商，相同的兩個ｊ指標表示縮并，最後得到的是個一階逆變張量。愛因斯坦希望在黎曼幾何中也能找到某種兩階張量Ｇ(ij)，條件是這種Ｇ(ij)是單純地由度規ｇ(ij)及其衍生物所組成，並且能滿足：
Ｇ(ij)；j = ０ (15.2)
然後只要假定這種與度規有關的兩階張量Ｇ(ij)與動量－能量兩階張量Ｔ(ij)是成正比的（請記住這裏已引入了一個假設條件），即：
Ｇ(ij) ＝ ｋ*Ｔ(ij) (15.3)
這樣方程就建立起來了，上述方程就稱之為「愛因斯坦方程」，而張量Ｇ(ij)就稱之為「愛因斯坦張量」，其中的ｋ是一個比例常數。接下來的問題，就是如何從幾何化的時空中去找出這樣的一種兩階張量Ｇ(ij)。
（十六）愛因斯坦方程是如何建立的（中）
所以要能建立起愛因斯坦的場方程，首先就要在幾何化的時空量內找到一種兩階張量。我們知道幾何化的四維時空是可以用黎曼幾何來表述的，那麼在黎曼幾何中，有沒有這種可以滿足上述要求（即協變微商恒為零）的兩階張量呢？
先來看一看在黎曼幾何中有那些現成的兩階張量。在黎曼幾何只有兩種基本的張量是兩階的，它們就是度規張量ｇ(ij)與里奇張量Ｒ(ij)。度規張量在前文中已被一再提到，里奇張量則是由四階的曲率張量縮并所得，通常用Ｒ(ij)來表示。字母Ｒ是用以記念張量分析的創始人意大利數學家G. Ricci-Curbastro。
但是度規張量ｇ(ij)顯然不是所要考慮的張量，它雖然是兩階的，而且也確實有一種很特別的性質，就是它的協變微商處處為零，但問題是建立場方程的目的就是為了求度規張量，這等於用方程ｙ＝ｘ去求ｘ，這顯然是沒有意義的。再來看里奇張量Ｒ(ij)，里奇張量也是兩階的，但是在一般的情況下，里奇張量的協變導數並不為零。所以里奇張量顯然也不符合條件。
（十七）愛因斯坦方程是如何建立的（下）
既然度規張量ｇ(ij)與里奇張量Ｒ(ij)都不符合要求，哪最後唯一的可能，就是將ｇ(ij) 與Ｒ(ij)進行組合，看看這種組合而成的兩階張量是否可以滿足協變導數為零的條件。最簡單的組合，當然是線性組合，這種線性組合的一般形式就是：
Ｇ(ij) ＝ Ｒ(ij) + ａ*ｇ(ij)*Ｒ+ ｂ *ｇ(ij) (17.1)
這裏Ｒ(ij)是里奇張量；ｇ(ij)是度規張量；Ｒ是標量曲率，它是里奇張量的兩個指標ｉ與ｊ再行縮并而得；ａ與ｂ是兩個待定的系數。愛因斯坦將ｂ取為零，而將ａ取為1/2，愛因斯坦認為這種組合而成的兩階張量Ｇ(ij)可以滿足Ｇ(ij)；j＝０的要求：
Ｇ(ij) ＝ Ｒ(ij) + ｇ(ij)*Ｒ/２ ＝ ｋ*Ｔ(ij) (17.2)
此方程便是「愛因斯坦方程」。方程含有度規ｇ(ij)的偏微分的兩次以上的項，因此這是種非線性的偏微分方程。
☆ 但我已在太陽轉酷之前坐進咖啡屋 ☆
（十八）明天就是中秋
又到了菊黃桂香的時節了。今天是2007年的9月24日，星期一，明天就是中秋，灣區的華人超市裏堆滿了各色月餅。前幾天收到國內友人的電郵，說濃濃的桂花香，正從窗台飄進她的居室。不免想起童年時的家居。小時候的這季節，祖父會在後院子裏張羅菊花大會，請鄰里故友親戚前來觀嘗。母親會將掉落到地上的桂花，一粒一粒地細心撿起，涼干後裝到頩子裏，然後煮桂花芋艿湯給我們吃。後來祖父去世，後院子拆了占了，父親離開了家，一直到他白髮蒼蒼時才回來，而家裏所留下的，就是秋風了。所以陪著我長大的，不是柳橙石榴，也不是菊黃桂香，而是秋風。是秋風看著我成長的，是秋風催著我成熟的。所以我寫的秋天的詩詞裏都很少有菊黃桂香，而總是帶點悲涼的秋風。昨天又去花市，選了兩盆秋菊，放去太太的墓碑前。下午二點再去了以前與她常去的那所寶華禪寺，聽素中法師講解《辨法法性論》。那吹入我心內的秋風，已不像過去那麼涼了。
☆ 字母Ｒ用以記念張量分析的創始人意大利數學家里奇 ☆
（十九）有缺陷的方程
物理方程建立在假設、原理、與自然哲學之上。建立方程所引入的數學形式並不是單純的技巧，不一樣的數學內容會反映出不一樣的自然哲學。如果反映了正確的哲學與原理，方程就會被事實所證實，否則就會在事實面前展現出它的缺陷。
這方面有個典型的例子，就是量子理論建立初期人們所提出的三種方程。薛定諤方程、狄拉克方程，顯然與戈登－克萊茵方程在數學形式上是不同的。戈登－克萊茵方程所用的是波函數對時間的兩階偏微分，但薛定諤方程、狄拉克方程使用的是波函數對時間的一階偏微分。表面上看，戈登－克萊茵使用兩階偏微分，與薛定諤、狄拉克使用一階偏微分，只是一種拼湊方程時的不同選擇，但深入的分析就會發現，這種不同的選擇會產生物理本質方面的歧異。戈登－克萊茵方程中的波函數對時間的兩階偏微分，在那裏正好是代表了一種物理上的「缺陷」。（注６）
哪麼在引力場的愛因斯坦方程中，是否也有任何物理上的缺陷呢？我認為缺陷已經是那麼的明顯。但奇怪的是，似乎沒有任何著名的物理學家想到過這點。這種明顯的缺陷就是：愛因斯坦方程是一種「非線性的方程」。而對於一個非線性的方程，從數學的角度講，就是它的數個不同的解是不能通過線性的組合來形成另一個解；而從物理的角度講，就是不同的數個物質荷源所產的場不能被簡單地迭加在一起。而一種不能被迭加的引力場，既不符合我們對引力勢是可以迭加的這種觀察經驗，也不可能在這種理論中真正地用上馬赫的原理。所以在我看來，非線性的愛因斯坦方程具有太過明顯的物理上的缺陷。
☆ 灣區的華人超市裏堆滿了各色月餅 ☆
（二十）能夠表述馬赫原理的數學方程應該是線性的方程
以往的場方程都具有線性的特質。早期牛頓的引力勢與靜電勢的數學形式完全相同，都可以寫成泊松方程或拉普拉斯方程，它們是線性方程。電磁場的麥克斯韋方程與亥姆霍茲方程也是種線性方程，所以不同荷源所貢獻的電磁場四維勢可以被迭加在一起。在量子理論中，薛定諤方程與狄拉克方程也是線性方程，所以粒子的數種不同的量子態可以被線性地迭加在一起。因為可以被線性迭加，物理現像才會呈現出我們所見到的那種簡單、優美的美學風貌。顯而易見地，引力場的「最好的」方程應該是具有線性特質的偏微分方程，我猜想愛因斯坦也可能這麼想過。他只是無法做到這點，才去嘗試並推出了那個復雜的非線性的方程。
而若從馬赫原理的角度來思考，線性的引力方程的優越性就更為明顯。馬赫曾對牛頓的旋轉水桶作出過非常獨到的分析，他認為水桶的旋轉同樣可視為宇宙全部星球在繞著一個靜止的水桶旋轉，因此離心力其實就是旋轉著的全部星球加於水桶的引力作用。馬赫的這種思想可以表述為：「慣性空間的特質起源於我們所處宇宙全部物質的引力場的集成」。作用在牛頓的旋轉水桶上的慣性力不是別的，它正是宇宙全部物質施加在水桶所處的時空點上的引力場的集成，這就是馬赫原理的本質。（注７）
集成就是一種迭加，也只有能滿足線性場方程的引力場，才能具有這種集成的可能性。所以能夠表述馬赫原理的數學方程只能是線性的方程。馬赫的思想只是種自然哲學，而自然哲學必需找到能表述它的數學形式才會見效，這也是牛頓用「自然哲學的數學原理」來作他的書名的原由。愛因斯坦想到了使用微分幾何這種數學來解決馬赫原理所亟需的數學手段，這是他的高明之處；但是他沒有注意到這種非線性的方程是不能成功地表述馬赫原理的，這卻是他的失誤。
☆ 又去花市選了兩盆秋菊 ☆
（二十一）薩拉圖加的 Hakone Gardens
北加州的九號公路從海岸的聖太‧克魯斯往北，越過山脈通往硅谷，進入一個名叫薩拉圖加的古老小鎮就結束了。小鎮傍靠山嶺，是南灣的連串小城中最寧靜蒼翠的地區之一。小鎮只有一條老街，沿著老街走到小鎮邊緣接近山下的地方，就是妻子的墓園。墓園林木繁茂很像一所花園，離墓園不到半碼的一座小山上是另一所花園，名叫 Hakone Gardens，當地人通常稱它為日本公園。
上世紀的 1915 年，舊金山的藝術贊助人 Stine 夫婦，買下了這片連綿山嶺上的一塊十八英畝的丘地， Stine 太太在該年去過日本，被日本園林的精巧所震攝，回來後即按照日本的風格建起了這所私家園林。Stine 夫婦故世後，園林幾經易手，後被薩拉圖加市政府買下，並對公眾開放。Hakone Gardens 讓我印像深刻的是它的竹子，從細密的篁竹直到高大的茅竹（孟宗竹）林。
在美國想要見到幾叢竹子是很難的，在東海岸幾乎都沒見過，來到西岸加州後，在洛杉璣杭廷頓圖書館見過大片的竹林，還有就是這所 Hakone Gardens。但竹子雖稀有，還多少能見到一些，可是有兩種中國花木，卻是我始終未能在美國見到的，它就臘梅，與桂花，而這兩種我最喜歡的花木正好與中國兩個最大的節日有關。但是昨天我在 Hakone Gardens 時卻驚奇地發現了一顆桂花樹。當我走過一所庭院時，我突然聞到一種熟悉的香味，那香味不是我的鼻子聞到的，說實在是我的肺聞出來的。我知道這是桂花的花香，而現在也正是它的季節。果然我在這房子的側邊找到一顆很矮小的樹，它確實是桂花，不過那細小的花粒卻是白色的，與家鄉的金黃色不同，那葉子也有微細的差別。不過我還是確認它就是顆桂花樹，它是我在美國首次見到的一顆桂花樹。
☆ 加州硅谷的 Hakone Gardens ☆
（二十二）愛因斯坦方程是沒法修補或改進的
前面的部份，我解釋了愛因斯坦引進「愛因斯坦方程」的前因後果，也談出了我對該方程的極為負面的看法。如果事實真像我所說的「愛因斯坦方程是一個有缺陷的方程」的話，那麼更為糟糕的是，我們還根本無法對它進行修補。這點它就不像量子理論的那三種方程，在量子理論中，先後出現的三種方程（戈登－克萊茵方程、薛定諤方程、狄拉克方程），開始推出的戈登－克萊茵方程確實不夠理想，但後來經過薛定諤與狄拉克的改進，到了後面兩種方程，就顯得比較完善與正確了。但是我們看得出，對於「愛因斯坦方程」，我們卻連對它作改進修補的可能都沒有。
所謂的「改進與修補」，指的是方程所建立的基本的理念與框架是必需維持的，只是對「拼裝」方程的數學另件作某些改變。例如在量子理論的三種方程中，從最初的戈登－克萊茵方程，到最後的狄拉克方程，所作的改進只是在選擇一階偏微分或兩階偏微分的問題上（它只算是數學另件），建構方程的理念與框架沒有任何差別。
但是對於「愛因斯坦方程」，如果我們不放棄它的基本理念與框架，那麼恐怕連改進與修補的可能性都沒有。因為在微分幾何的領域裏，能找得出的，由度規張量所衍生出來的兩階張量（數學另件）就是以上有限的幾種，我們再也找不出其它更適用的兩階張量。所以在原有的愛因斯坦的理念與框架之下，所能建構的場方程就只剩下這一種結果。如果它也不適合，那麼唯一的可能，就只能是對該方程連同它的基本理念與框架一起，都完全地被否定。如果情況必須是如此，哪麼大家一定會進一步問我，哪你認為的正確的方程，又是在哪裏？
☆ 它是我在美國首次見到的一顆桂花樹 ☆
（二十三）靜態的引力空間的場方程竟然就是高斯總曲率方程
前面第（十二）段的最後我寫了：「在1990年左右，我似乎求得了能滿足上述條件的慣性空間的度規，這是一種很奇特的函數。」從程序上講，要求得度規，便先要有場方程，再由場方程來解出度規。所以既然我寫了已求得了度規，那一定是我已在那時期就找到了我想要找的那種關於慣性空間及其引力場空間的「線性的場方程」了。
是的，在那個時期，我已經基本上確定了靜態場的場方程。說來難以置信，靜態的引力空間的場方程不是別的，它竟然就是黎曼空間的那個為人熟知的高斯總曲率方程，用一般的張量形式表示就是：
Ｋ ＝ ｇ{mj}*ｇ{ki}*Ｒ(mijk) (23.1)
＝ ｇ{ij}*Ｒ(ij) (23.2)
其中Ｋ是高斯曲率，ｇ{mj}是度規張量的逆變張量形式，Ｒ(mijk) 是無擾空間的曲率張量（因為我們現在先討論靜態的引力空間），Ｒ(ij)是里奇張量。關於這個方程，我已在第（九）段中寫出過它的用張量的分量的多項式來展開的形式：
Ｋ ＝ g{11}*g{22}*R(1212) + g{22}*g{33}*R(2323) + g{33}*g{11}*R(3131)
g{11}*g{44}*R(1414) + g{22}*g{44}*R(2424) + g{33}*g{44}*R(3434)
(9.1)
我們回頭再看愛因斯坦的場方程(17.2)：
Ｒ(ij) + ｇ(ij)*Ｒ/２ ＝ ｋ*Ｔ(ij) (17.2)
將它與(23.2)作比較，就會發現，第一，這兩種方程都是度規張量、里奇張量、以及標量曲率這數者的組合；第二，從理論上講，它們都是一種可以用來求解度規的偏微分方程。所不同之處，是愛因斯坦方程(17.2)需要引入一種假設，而方程(23.1)或 (23.2)本身無需假設，它只是一個現成的幾何方程而已（注８），我們只要界定Ｋ與ｇ的物理意義（這時需要作點假設了），就可以將它視為物理的方程。
（二十四）
（待續）
☆ Hakone Gardens 讓我印像深刻的是有一片高大的茅竹林 ☆
☆☆☆☆ ☆☆☆☆ 注釋 ☆☆☆☆ ☆☆☆☆
注６：關於量子理論初期的戈登－克萊茵方程，它顯然隱含著某種自然哲學上的缺陷。比較這三種方程（戈登－克萊茵方程、薛定諤方程、狄拉克方程），可將原方程中的波函數取復數共軛，然後再將共軛方程與原方程作適當結合，便可以衍生出「密度流的守恒方程」。在戈登－克萊茵方程所衍生出的「密度流的守恒方程」中，幾率的荷密度含有波函數對時間的偏微商；而在薛定諤方程、狄拉克方程所衍生出的「密度流的守恒方程」中，幾率的荷密度卻不含這種對時間的微商。前者（幾率荷密度含有對時間微商）在自然哲學上是錯誤的，因為取適當的初始條件，它有可能使幾率荷密度變成負值，而負值的荷密度沒有物理意義。細究其原因可以發現，戈登－克萊茵方程所使用的波函數對時間的兩階偏微商就是造成該問題的根源。可見建立一種方程時，數學上的選擇並不是任意的，錯誤的選擇會帶來物理上的缺陷。
注７：關於馬赫（E. Mach, 1838-1916）對「牛頓的旋轉水桶實驗」的獨到見解，記載於他在 1880 年所發表的《力學發展史》一書。馬赫在那裏寫道：「牛頓的旋轉水桶實驗只是告訴我們，水對於桶壁的相對旋轉不產生任何顯著的離心力，而它對於地球及其它天體質量的相對轉動才產生這種離心力。沒有一個人能夠斷言，如果桶壁的厚度與質量都增加，直到厚達幾英哩時，這個實驗會得出什麼樣的結果。如果把水桶固定，讓眾恒星旋轉，能夠再次證明離心力會不會存在嗎？」後來有人將馬赫的這種哲學思想稱為「馬赫原理」，愛因斯坦將馬赫原理做為廣義相對論的三大基石之中的一個。
注８：一個幾何學上的方程（高斯總曲率方程），有可能就是物理學的引力場的場方程嗎？這可能是當今物理學家們從未想到過的事。不過，這一點卻正是本文最核心的內容。如果你讀過本文第（五）段中的一段話（狹義相對論得以立論的基本方程洛倫玆變換，實際上只是一組雙曲面上的曲面幾何方程而已），你就會注意到這兩件事的意義其實是相同的。對於前者，我在證明一個物理方程在數學上就是一個幾何學方程；而對後者，我的目的就是要說明，一個幾何學的方程剛好就是物理學的方程。它要表明的事實是同一個，就是物理學的最重要的那些命題很可能可以完全地被「幾何化」。
其實這種情況在物理學中已有先例：大家熟知的電磁場理論的麥克斯威方程組，如果用張量的形式來表達可以簡化為兩個方程，其中之一個方程（它表示磁場的散度，及電場的旋度），如果我們將它的數學形式與微分幾何中的畢安基恒等式（Bianchi identity）相比較，就會發現它們兩者不差分毫。它就是一個物理方程與幾何學方程等價的最好的例子，只是到現在為止它還沒有得到足夠的重視。而且我還可以預告，我們遲早會了解，麥克斯威方程組的那另一個張量方程（它表示電場的散度，及磁場的旋度），也是可以用幾何學的方程來代替的。我相信如果事實是如此，物理學將會出現另一次觀念上的革命運動。
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