Morris' Blog 我在摸索我存在的意義、生命的意義、內涵及價值。 沒有真正神手般的厲害，套用模式是大部分的情況。 沒那麼厲害的我存在的意義為何，襯托出神的存在？ 有時候不能怪別人不給我機會，我已經開始省思， 為什麼我沒有給別人機會的原因，而是全要靠別人。 有時候我認為我與眾不同，那是因為我做不到很多人能辦到的事情。 我聽不到、玩不起來、說得不夠明瞭、理解得不夠多， 我缺少的語文能力，就是一切一切無能的判定。 為此，我不曉得能做些對別人有幫助的事情。 我知道我自己是個不服輸的性格，但現在我不得不認輸。 我沒有能力，因此我必須認輸。 我到底來這世界作什麼？處處充滿不確定性， 而我總是無法出類拔萃，想當個一般人似乎也回不了頭了。 越強大的挑戰需要越強力的支持，而我的支持是什麼？ 最近嘗試與人談話，但都是失敗的結局，沒人能接受， 不需要言語，不需要溝通，一切所想都表達不出來。

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Problem A: Satisfying Constraints

Consider the following constraint satisfaction problem. You are given n variables x₁, x₂, ..., x_n and a set of m two-variable linear constraints. Each constraint takes the form ax_i + bx_j = c where a, b, and c are integer constants. Each variable is allowed to take an integer value between 1 and k for some specified constant k.

Your goal is to determine if it is possible to assign an integer value in the valid range to each variable such that all constraints are satisfied.

The number of test cases is given in the first line of the input. Each test case begins with a line containing integers n, m, and k where 1 ≤ n ≤ 1000 is the number of variables, 0 ≤ m &le 10,000 is the number of constraints and 1 ≤ k ≤ 100 is the largest value allowed for the variable assignments. The following m lines each contain 5 integers a,i,b,j, and c where 1 &le i,j ≤ n and 0 &le |a|,|b|,|c| ≤ 10,000,000.

For each test case, output one line containing yes if all constraints are satisfiable and no otherwise.

Sample input

2
2 1 10
3 1 6 2 5
2 1 10
3 1 6 2 9

Output for sample input

no
yes

---

Zachary Friggstad

題目描述：

給很多方程式，每個變數只能代入 [1, K] 之間的整數，
問有沒有可能存在解。

題目解法：

對於每一個方程式的解 pair，相當於將兩個節點關係連起來。

根據推論關係，如果同一個變數的兩種值可能在同一個集合中時，則這一套的解是不符的。

由於推論關係是雙向的，因此可以看做是一個連通元件。

因此最後要將不可能的連通元件剔除，最後檢查每一個變數，是否存在一種以上的解。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int rank[100005], parent[100005];
void init(int N) {
    for(int i = 0; i <= N; i++) {
        rank[i] = 1, parent[i] = i;
    }
}
int findp(int x) {
    return parent[x] == x ? x : parent[x] = findp(parent[x]);
}
int joint(int x, int y) {
    x = findp(x), y = findp(y);
    if(x == y)
        return 0;
    if(rank[x] > rank[y])
        rank[x] += rank[y], parent[y] = x;
    else
        rank[y] += rank[x], parent[x] = y;
    return 1;
}
int main()  {
    int testcase;
    int error_group[100005];
    int error_test[100005], error_label[100005] = {}, ecases = 1;
    scanf("%d", &testcase);
    while(testcase--) {
        int N, M, K;
        int A, I, B, J, C;
        int i, j, k;
        int NIL; // error group
        int global_solv = 1;
        scanf("%d %d %d", &N, &M, &K);
        NIL = N * K;
        init(N*K);// [0, N-1][0, K-1]
        for(i = N*K; i >= 0; i--)
            error_group[i] = 0;
        for(i = 0; i < M; i++) {
            scanf("%d %d %d %d %d", &A, &I, &B, &J, &C);
            I--, J--;
            int Vi, Vj;
            if(!global_solv)
                continue;
            int ok = 0;
            if(A == 0 && B == 0) {
                ok = (C == 0);
            } else if(A == 0) {
                for(j = 1; j <= K; j++) {
                    if(B * j != C)
                        joint(NIL, J*K + (j-1));
                    else
                        ok = 1;
                }
            } else if(B == 0) {
                for(j = 1; j <= K; j++) {
                    if(A * j != C)
                        joint(NIL, I*K + (j-1));
                    else
                        ok = 1;
                }
            } else {
                if(C%__gcd(A, B) == 0) {
                    for(j = 1; j <= K; j++) {
                        Vi = j, Vj = (C - A * Vi)/B;
                        if(Vj < 1 || Vj > K || A * Vi + B * Vj != C)
                            joint(NIL, I*K + Vi-1);
                        else
                            joint(I*K + Vi-1, J*K + Vj-1), ok = 1;
                        Vj = j, Vi = (C - B * Vj)/A;
                        if(Vi < 1 || Vi > K || A * Vi + B * Vj != C)
                            joint(NIL, J*K + Vj-1);
                        else
                            joint(I*K + Vi-1, J*K + Vj-1), ok = 1;
                    }
                }       
            }
            global_solv &= ok;
        }
        error_group[findp(NIL)] = 1;
        for(i = 0; i < N && global_solv; i++) {
            ecases++;
            for(j = 0; j < K; j++) {
                int p = findp(i*K + j);
                if(error_label[i*K + j] != ecases)
                    error_label[i*K + j] = ecases, error_test[p] = 0;
                error_test[p]++;
                if(error_test[p] > 1)
                    error_group[p] = 1;
            }
        }
        for(i = 0; i < N && global_solv; i++) {
            int ok = 0;
            //printf("x%d = ", i+1);
            for(j = 0; j < K; j++) {
                int p = findp(i*K + j);
                if(error_group[p] == 0) {
                    ok = 1;
                    //printf("%d", j+1);
                    break;
                }
            }
            //puts("");
            global_solv &= ok;
        }
        puts(global_solv ? "yes" : "no");
    }
    return 0;
}