歐幾里得（Euclid,365B.C.--300B.C.）
『幾何學中沒有帝王之路。』
公元前323年亞歷山大大帝死後，他的帝國被其軍事領袖所瓜分，最終形成三個帝國。公元前306年，托勒玫開始統治埃及。他把亞歷山大里亞定為首都。為吸引有學問的人到這城市來，便著手建立了著名的亞歷山大里亞大學。據記載，這所大學的規模可以媲美現代的大學。該大學的中心是大圖書館，這座圖書館在近一千年中被當作是收集世界上學術著作最多的寶庫，號稱擁有超過六十萬卷紙草書。這所大學使亞歷山大里亞成為希臘文明的重鎮。歐幾里得在這裡主持數學系。歐幾里得是位希臘數學家，以著名的『幾何原本』而聞名。他吸收了前人數學知識的精華，並集其大成，用簡潔明瞭的文字完成這本著作。『幾何原本』可說是幾何學中的聖經，兩千多年來，這本著作已出現一千多個版本，影響十分深遠。有一個常說的故事：當托勒玫向歐幾里得詢問學習幾何知識的捷徑時，他答道：「在幾何學中沒有帝王之路。」；求兩個整數的最大公因數(g.c.d.)的程序，稱為歐幾里得算法（或稱為輾轉相除法）。這是來自歐幾里得的問題：騾子和驢子馱著穀物，騾子對驢子說：「如果你把馱的穀物給我一包，我馱的就是你的兩倍。可是，如果我給你一包，咱倆就一樣了。」請猜一猜，它們各馱多少穀物？我知道了！我知道了！(Eureka，Eureka！)
『給我一個立足點，我就能夠舉起地球。』
阿基米得--歷史上最偉大的數學家之一。他大約在公元前287年出生於西西里島的希臘城市敘拉古(Syracuse)。阿基米得能做到專心致志。而他最膾炙人口的故事，便是為國王辨別皇冠是否純金打造。阿基米得苦思許久都沒有想出辦法。一天，當他進入澡盆時，水竟然滿出來了，他興奮地連衣服都沒有穿就跑到街上大喊：「 我知道了！我知道了！」這就是浮力定理的由來。阿基米得在數學上最大的貢獻是幾何學，他常常將幾何圖形畫在地板上，然後蹲在那，思考問題。公元前212年羅馬軍入侵，那時阿基米得正在專心思考沙盤上的幾何圖形，他命令一個搶劫的羅馬士兵遠離他的圖形，這個發怒的搶劫者就一槍刺死了這位老人。阿基米得，以其偉大的幾何發明而自豪，曾表示過這樣的願望：將顯示球形和外接直圓柱的圖形刻在其墓碑上。後人注意到這事，並讓阿基米得的要求得以實現。
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最著名的業餘數學家--費馬(Fermat,1601-1665)
費馬1601年出生於法國南部。小時候他並沒有上學，而是父親特別請家庭教師來教他。費馬學習十分努力，最喜歡的功課是數學。雖然喜歡數學，但考大學時，遵從父親的建議，選擇了法律。畢業後。成了一名律師。他使用空閒時間來研究數學。費馬是一位業餘的數學家，但由於他的努力，豐富了數學領域，以致曾被稱作十七世紀最偉大的法國數學家。其重要貢獻為：解析幾何、微積分、數論和機率論。
費馬雖然是一名律師，但他的嗜好則是想辦法整理古希臘著作，並從這些埋藏己久的偉大發現中，尋找美麗的新定理。他曾說：「我發現過許多絕美的定理。」他同時把這些定理寫在某些古書拉丁譯本的書頁空白處。在費馬珍藏的古籍拉丁譯本中，有一本名為<算術>的書，作者是希臘代數學家Diophantus。在1637年，費馬在這本書中的畢氏定理論證附近寫下了：當n>2時，不存在正整數X、Y、Z，使得 Xn+Yn=Zn
這個著名的猜想，稱為費馬最後定理。費馬宣稱：「我確實找到了一個美妙的證明，然而這裡的篇幅不足以讓我寫下這個證明。」而這個神秘的宣稱令往後許多的數學家忙於提供此一美妙的證明，但都無功而返。直到最近(1994)，才由美國普林斯頓大學的安德魯‧懷爾斯教授(Andrew Wiles)證明出此定理(詳見『費馬最後定理』這本書)
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數學王子----高斯(1777~1855)
『數學是科學之王，而數論是數學之王。』 高斯--這位令人敬畏的數學天才。他不但被認為是十九世紀最偉大的數學家，而且與阿基米得和牛頓並稱為歷史上最偉大的三位數學家。歷史上間或出現神童，高斯就是其中之一。關於他，有一個令人難以置信的故事，說他三歲時就在他父親簿記中的一處發覺了算術上的錯誤。還有一個常講的故事，說他十歲時在公立學校裡，他的老師為了讓全班有事幹，出了下面的題目： 1+2+3+4+5+…+98+99+100=? 高斯立刻把它寫好的石板放在老師的桌子上。當所有的石板一一被驗證時，這位老師驚訝地發現只有高斯得到正確的答案5050。高斯的數學天份受到一位公爵的青睞，公爵便負擔起一切教育費用。他十八歲進入哥廷根大學。起初在當個語言學家還是當個數學家二者之間猶豫不決，他決定獻身於數學是1796年3月30日的事。當他差一個月滿十九歲時，發現正十七邊形作圖法。他顯然以此而自豪：他要求將正十七邊形刻在他的墓碑上。然而高斯的紀念碑上卻刻著一顆十七角星，原來是負責刻紀念碑的雕刻家認為，正十七邊形與圓形太像了，大家一定分辨不出。高斯20歲時，證明出「代數基本定理」而風靡整個數學界，獲得『數學王子』的美稱。
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柯西(Cauchy，1789-1857)
1789年8月21日，柯西出生於法國巴黎一個律師家庭。1805年，他進入當時最負盛名的巴黎工藝學校(Ecole Polytechique)，並以優異的成績畢業於附設的土木學校。1814年，他向科學院提出定積分的論文，獲得Legendre的賞識。1815年，他又以《關於在重力之下流體面上波的傳播》這篇論文，獲得科學院的獎賞。1816年，他被選為科學院的院士，並任巴黎工藝學校的教授。柯西的功績中，最顯著的是他創立了複變函數論，將常微分方程研究由實數域轉到複數域，在複數域內證明了常微分方程解的存在性。不過，柯西當初並沒有意思要建立今天所謂的複變函數論，只是他在研究定積分的計算時，偶然觸到後，再加以研究而成。1821年，柯西提出了下列定義：「當某個歸屬特定變數的值逼近於一固定值，而能隨心所欲地使其變小而至終止，此終止值即稱為所有其他值的極限。」柯西的定義避免了如無窮小之類不精確的用語，並用它去證明微積分的主要定理。不過它的定義太過冗長，有必要以清晰的定義和符號來代替這些字眼。
在簡化此種微積分基礎的最後用語--- 所謂微積分的算術化過程 ---是由德國數學家Weierstrass和他的一群學生所提出。
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阿貝爾（Abel，1802-1829）
在我看來，一個人要在數學上取得進步，他就應該向大師學習而不是向大師的學生學習。
1802年8月5日，阿貝爾生於挪威芬多小鄉村一個貧窮牧師家中，中學時，因Holmboe的啟發，而將其非凡的數學天才從沈睡中喚醒。在他中學的最後一年他開始考慮當時著名的數學難題：五次方程的根式解。不久他認為得到了答案，可是後來發現是錯的。1823年夏天，阿貝爾到哥本哈根拜見Degen，對五次方程的可解性問題進行了較深入的討論，這時，阿貝爾的思想發生了本質的變化，他開始意識到： 一般五次方程根本不存在類似二、三、四次方程那樣的求根公式。沒多久他就證明出：一般的代數方程如果次數>= 5則此方程無根式解。接著，法國數學家Galois(伽羅瓦)引入了群的觀念，把代數方程的解的全體作為一個整體來研究，得出n次代數方程有根式解的充分必要條件：它在係數域中的Galois群的一系列極大不變子群之組合因數都是質數，到此尋找方程根式解的時代結束。阿貝爾另一項偉大成就，是和德國數學家Jacobi共同奠定橢圓函數論的基礎。法國數學家Hermite曾說：「阿貝爾留下的工作足以讓以後的數學家忙上150年。」後來法國數學家Poincare推廣橢圓函數，而開創了自守函數理論。
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哈密頓（Hamilton，1805-1865）
長久以來，我就很欣賞Ptolemy對他偉大的天文導師Hipparchus的描寫：
勤勞和愛真理的的人。我希望這幾個字可以作為我的墓誌銘。
1805年8月3日，哈密頓生於愛爾蘭的都柏林。他是一個神童，13歲時就能流利地講許多外語，還逐步喜愛上古典文學，直到認識了美國一位計算神速的兒童，才引起他對數學的興趣。16歲時，他就讀法國著名數學家兼天文學家Laplace五冊的『天體力學』，還指出其中的一個數學錯誤。1823年，當他還是學生時，就被任命為愛爾蘭皇家天文學者、鄧新克天文台台長和大學的天文學教授。哈密頓最偉大的數學發明是四元數。1843年10月16日，他和妻子沿著皇家運河散步時，突然一個念頭像閃電般出現，即，這麼樣處理四元數a+bi+cj+dk中i、j、k三者的乘積： i2=j2=k2=ijk=-1他是那麼的興奮，於是用小刀在布爾罕橋上的石頭刻上最初出現的公式。四元數在數學史上的重要性在於：把代數學從束縛於實數算術的傳統中解放出來，並且打開了現代抽象代數的大門。哈密頓除了關於四元數的著作外，還寫了有關光學、動力學、五次方程的解、漲落函數、動點的速端曲線和微分方程數值解的著作，是英國繼17世紀牛頓以後最偉大的數學家。
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黎曼(Bernhard Riemann，1826-1866)
1826年9月17日，黎曼生於德國漢諾威一個路德派牧師家庭。他先在柏林大學學習，後進哥廷根神學院，不久轉學數學，師從名師Gauss和Weber。1851年，在Gauss的指導下，以其才華橫溢的論文在哥廷根大學獲得博士學位。1859年，黎曼繼承Dirichlet的席位，榮任哥廷根大學教授，當選為德國科學院院士。黎曼在德國科學院院刊上，發表了題為《論小於給定數的質數個數》的一篇文章，其中提出了六個猜想。最著名、至今未獲證實的就是現稱的“黎曼猜想”：都位於複數平面上σ﹦1/2 這條直線上。自此之後，解析數論中的一大批世界級難題幾乎都與這篇文章有關，而這些有待解決的問題正好使解析數論這門學科充滿活力。黎曼另一項重要成就是繼Gauss、Bolyai、Lobachevsky的雙曲幾何學後，創立橢圓幾何學，亦稱黎曼幾何學。在這套幾何中，三角形內角和既不等於180度，也不小於180度，而是大於180度，而Einstein創立的廣義相對論就是以黎曼幾何學的空間概念為基礎的。
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康托爾 (Georg Cantor，1845-1918)
誰也不能把我們從Cantor為我們創造的伊甸園中趕出去-----Hilbert
1845年3月3日，康托爾生於俄羅斯彼得堡。1856年移居德國，在蘇黎士和柏林大學求學，就讀柏林大學時，在Weierstrass的門下學習，徹底吸收了微積分的嚴格逼近方法，並於1867年獲得博士學位。康托爾是集合論的創始者。他從一一對應這種原始基本觀念開始，比較無限集合是否有相同的階數，從而得出有理數集合與自然數集合具有相同階數，與實數集合是高於有理數集合的第二階無限集，並由冪集合創造出更高階的無限集。雖然大部分的數學界人士都對他所做的成果嗤之以鼻，但他卻依然不屈不撓，堅持到底。有一個問題是康托爾無法滿意解決的，這就是有名的連續統假設：沒有一個超限的基數，嚴格地落在第一階---自然數無限與第二階---實數無限之間。以另一種方式來說，連續統假設敘述任何實數的無限子集若不是可數的(即與自然數集合一一對應)，則必能與( 0，1 )區間做出一一對應關係，而沒有其它餘地存在。1900年，希爾伯特(Hilbert)提出有名的Hilbert 23個問題，即以連續統假設為第一個問題，由此可看出其重要性。1940年，哥德爾(Godel)使用集合論的公設證明了連續統假設與其它公設在邏輯上為相容。1963年，史丹佛大學數學家Cohen證明了連續統假設是獨立的，即以集合論的公設也不能證明連續統假設。所以康托爾的連續統假設在集合論世界中所佔的地位與平行公設類似，它是一種選擇的藝術，而不帶有必要性，乃依探究此問題之數學家的偏好而定。
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龐加萊 (Poincare，1854-1912)
熱愛真理是偉大的事情，追求真理應該是我們活動的唯一目標和唯一價值
1854年4月29日，龐加來生於法國洛林地區南錫城中一個相當顯赫的家族。龐加萊是19世紀末與20世紀初的數學主宰，也是最後一個實際上以全部數學 --- 包括純數學和應用數學兩方面 ---作為研究領域的數學家。他在當時四大分支 --- 算術(數論)、幾何、代數和分析都做出開創性的成果，尤其在函數論、代數幾何學、數論、代數學、微分方程理論和代數拓樸學等分支做出卓越的貢獻。在天文學方面，他的主要成果有三個：旋轉流體的平衡形狀；太陽系的穩定性，即ｎ體問題；太陽系的起源。他是理論物理學中的第一流專家，對光理論和電磁理論做出了傑出的工作。他對二十世紀初的物理學大發展起了積極的促進作用，放射性的發現和經典電子論的提出都受到他的啟迪，他還是相對論的先驅之一。龐加萊對數學哲學、科學哲學和科學方法論也深有研究，甚至在文學上也極有造詣。
龐加萊把個人可能在數學上的作用發揮到極致，他是最後一位數學通才！他的事業是一曲通才的絕唱。
龐加萊於1904年猜測：單連通的三維閉流形必與三維球面同胚。在龐加萊猜想提出後不久，就被推廣到ｎ≧4維的情況，這稱為廣義龐加萊猜想。1961年，美國數學家S.Smale採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。1981年另一位美國數學家M.Freedman證明了四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。但時至今日，龐加萊猜想卻依然故我。
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希爾伯特 (David Hilbert，1862-1943)
正如人類的每項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。
正是通個這些問題的解決，研究者鍛鍊其鋼鐵般的意志和力量，發現新方法與觀點，達到更為廣闊和自由的世界。1862年1月23日，希爾伯特生於德國因七橋問題而名揚歐洲的哥尼斯堡。1880年秋天，希爾伯特進入哥尼斯堡大學，不顧父親的反對，毅然選擇了數學專業，15年後他擔任了哥廷根大學的數學教授。 希爾伯特的主要貢獻在以下幾個方面：不變式論、代數數域理論、幾何基礎與一般數學基礎、積分方程和物理學。 1900年8月6日，第二屆國際數學家大會在巴黎召開，大會第三天，38歲的希爾伯特做了一個著名演說，向國際數學界提出23個尚未解決的問題，這就是有名的Hilbert 23個問題。這一演說揭示了數學的未來，成為世界數學史上一塊重要里程碑，為二十世紀數學發展揭開了光輝的一頁。Hilbert 23個問題：1.連續統假設 2.算術的無矛盾性 3.兩等高底的四面體體積相等4.兩點以直線為最短距離問題 5.不給所定義群的函數做可微性假設的李氏概念6.物理學的公理化 7.某些數的無理性與超越性 8.質數分佈問題：包括Riemann猜想、Goldbach猜想及攣生質數猜想 9.任意數域中最一般的互反律的證明 10.Diophantus方程的可解性判別 11.係數為任意代數數的二次式12.Abel域上Kronecker定理推廣到任意代數有理域上 13.用兩個變量解一般七次方程的不可能性 14.證明某類完全函數系的有限性 15.舒伯特計數演算的嚴格基礎 16.代數曲線和代數曲面的基礎 17.半正定形式的平方和表示18.由全等多面體構造空間 19.正則變分問題的解是否一定解析 20.一般邊值問題 21.具有給定單值群的線性為微分方程的存在性證明 22.由自守函數構成的解析函數單值化23.變分方法的進一步發展
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諾特 (Emmy Noether，1882-1935)
1882年3月23日，諾特出生於德國南部小城愛爾朗根一個猶太人家庭。父親是愛爾朗根大學著名的數學教授，著名的『不變式之王』高丹教授是她父親的摯友，常來她家作客。在他們的影響下，諾特對數學充滿了興趣。1916年，應著名數學家Hilbert和Klein的邀請，來到數學聖地哥廷根。不久，她就以Hilbert教授的名義，在哥廷根大學講授不變式論課程。不到兩年的時間，她就在Hilbert等人的思想影響下，發表了兩篇重要論文。在一篇論文裡，為Einstein的廣義相對論給出了一種純數學的嚴格方法；而另一篇論文有關『Noether定理』的觀點，已成為現代物理學中的基本問題。此後，諾特走上了完全獨立的數學道路。 1921年，她從不同領域的相似現象出發，把不同的對象加以抽象化、公理化，然後用統一的方法加以處理，完成《環中的理想論》這篇重要論文，這是一項非常了不起的數學創造，它標誌著抽象代數學真正成為一門數學分支，或者說標誌著這門數學分支現代化的開端。諾特也因此獲得了極大的聲譽，被譽為是抽象代數之母。Einstein曾經高度評價諾特的工作，稱讚她是“自婦女接受高等教育以來，最傑出且富有創造性的數學天才”。毫無疑問地，諾特是歷史上最偉大的女數學家。
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波里亞 (George Polya，1887-1985)
如果你解不出某道題，那肯定是有一個更容易的問題你尚未解決--- 找到它！1887年12月13日，波里亞生於匈牙利布達佩斯市。青年時，曾先後在布達佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地，攻讀數學、物理學和哲學。1912年，他在布達佩斯大學取得數學博士學位，論文是有關機率方面的。1914年，在蘇黎世高等工技學院任教。1940年移居美國，先在布朗大學任教，1942年後一直在史丹佛大學任教。在史丹佛大學裡，只有一棟建築物是以數學家命名的，那就是波里亞學院(數值分析學系的校舍)，而且數學系的圖書館裡，也只有波里亞一人的肖像被陳列出來。 波里亞在眾多數學的分支：函數論、變分學、概率論、數論、組合數學以及計算數學和應用數學領域中，都頗有建樹，他共發表了200多篇著名論文，以他的名字命名的Polya計數定理，則是近代組合數學的重要工具。波里亞還是傑出的數學教育家，有著豐富的數學教育思想和精湛的數學教學藝術，他對數學思維一般規律的研究，堪稱是對人類思想寶庫的特殊貢獻。波里亞在數學解題方面強調猜測、注意資料、類比、一般化和特殊化等數學家常用的思考習慣，這種做法是獨一無二的，他常用字母「Ｇ.Ｐ」來表示『猜測與證明』。波里亞的重要數學著作有《如何解題》、《數學發現》、《數學與猜想》等等。
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馮．諾伊曼 (Von Neumann，1903-1957)
1903年12月28日，馮．諾伊曼誕生於匈牙利布達佩斯的一富裕銀行家家庭。他從小就展示出驚人的數學天賦，相傳在6歲時就能夠心算八位數除法。8歲那年學會使用微積分。12歲時竟讀懂了一部高深的數學著作《函數論》的大意。1926年幾乎同時畢業於兩所大學：在蘇黎世ETH獲得化學工程文憑；在布達佩斯大學獲得數學博士證書。1930年，馮．諾伊曼到了美國，被聘為普林斯頓大學的訪問教授，三年之後，年僅30歲的他與Einstein一道，成為普林斯頓高等研究院的首任成員。1940年以前馮．諾伊曼對數學的貢獻集中在純粹數學方面，他曾稱雄“算子環”領域達20年之久，一直是這個領域內無可爭辯的世界權威。另一項輝煌科學成就，是部份解決了Hilbert第五問題，為完全解決這一著名數學難題做出了重大貢獻。馮．諾伊曼對計算機科學的貢獻，尤其為人們所讚賞。他起草了一份『離散變數自動電子計算器』的設計報告，對世界第一台電子計算機ENIAC做了兩項重大的改進，這份設計報告是計算機結構思想一次最重要的改革，標誌著電子計算機時代的真正開始。西方科學家們對馮．諾伊曼的工作給予了極高的評價，尊他為『電子計算機之父』。
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哥德爾 (Godel，1906-1978)
我從事的是一件極為寂寞的工作，我關心的是數學物件客觀的存在問題 1906年4月28日，哥德爾生於現今的捷克百諾市。他在維也納大學時讀了Hilbert和Ackerman合著的第一版《理論邏輯基礎》一書，對書中提出的一個問題感到興趣，而集中精力鑽研這個問題，並將這個問題的完美解答以博士論文形式作為成果，1930年以此獲得維也納大學博士學位。1931年，哥德爾發表了一篇重要論文：《論數學原理和有關系統的形式不可判定命題》。文章證明了一條後來以他的名字命名的定理：哥德爾不完全性定理---在任何包含初等數論的相容形式系統中，存在著不可判定命題，即命題本身和它的否定在該系統中都不可證。哥德爾不完全性定理是現代邏輯發展史上的一座豐碑、一個轉折點，它開創了現代邏輯發展的新時期。1940年哥德爾進入美國普林斯頓高等研究院，不久，即使用集合論的公設法，證明了連續統假設與其它公設在邏輯上為相容，也就是說運用集合論的公設是不可能去反證連續統假設的。1941年以後直到1978年逝世，哥德爾主要從事哲學研究。他後半生曾花了大量時間去探索某種基本哲學，企求這種基本哲學能有助於一切領域內的科學研究，並且成為一門超科學，但最終成果卻很有限，甚至也沒有成形。
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