百易靈 部落格 網上之閒情雜記 ...

233愛的鼓勵 9訂閱站台

莊子《秋水篇》有云 :「夫物，量無窮、時無止、分無常、終始無故。」!

 

原來我國早在二千多年前，已有「無窮、無限」這觀念，但西方國家，卻要待至十九世紀中葉，經捷克學者波爾查諾和德國數學家哥爾‧康托爾的研究及推廣，「無限」這概念，才被廣泛認同。記得中學時期，在學校的圖書館裏，曾經看過一本名為《集的故事》的數學參考書，最近得以重閱，又是另一番體會! 先讓我簡介這本書吧!

 

書名 : 《集的故事》(Story about Sets)

作者 :  N. Ya. Vilenkin

出版社 : 九章出版社

國際書號 : ISBN : 957-603-003-X

 

【內容摘要】

 

本書主要分為以下四個大題目，而當中又以末章的篇幅較廣，亦較為重要。

 

1. 無限集的一些奇異性質

2. 集及其運算

3. 集的基數

4. 奇特的函數和曲線 - 在一個數學藝術博物館中遊歷

 

十九世紀中葉，「無限」的概念經捷克學者波爾查諾和德國數學家哥爾‧康托爾研究後才被廣泛認同，他們證明了「無限集」的性質與「有限集」的性質是不相似的，甚至可以說兩者根本完全不一樣。比如在「有限集」不可行的運算，但在「無限集」裏卻出人意表地能輕易解決! 其實數學中所謂的「集」，其意思即是「包含某些共同特性的各種事物」，成語「物以類聚」就是這意思。請先看以下的一些定義 : 組成一個「集」的事物叫作「元」，沒有「元」的集稱為「空集」，而在一個「集」之中亦可再細分，故有「子集」的存在，即是它是屬於另一個較大的「集」。而「宇集」是用於討論兩個或多個「子集」的「集」，「交集」則指一些「元」是分別可以從每個「集」之中存在而所形成的一個新集。至於「和集」是把兩個「集」相加，而當中重複的元是並不計算在內的。除定義外，作者利用《在舞池中》這一節帶出一個重要的訊息 :「不需要清楚計算出每一個元在集裡的數目，亦可利用在特定的條件下，把一個個的元，進行單向單配對，從而得知兩個集是否有相同數目的元」。及後，作者又推出另一個概念，就是 :「部分亦可多於全體」和「長短線段都有相同數目的點」。

 

【後　記】

 

《集的故事》這本書令我更了解「無限」及其他的一些數學概念。原來，「無限」不單只是代表「數之不盡」，而是還有更深層的意思。書中引了多個趣味盎然的例子，如開首的《怪酒店》，就最能帶出「無限」這個問題的處理方法，而「不可集」的概念，則透過生動活潑的《怪酒店中永不可行的人口普查》一節來加以闡述。作者由淺入深，逐步去描述箇中的概念，從「集」的定義而引伸至「無限集」，再到其後的「函數」等等，都是按部就班，有條不紊地解說出來，此外，作者所舉的例子更能令讀者進一步了解自己的數學概念是否鞏固、正確。例如在《剃還是不剃?》一文中，使我思考到 :「集亦可能是這個集的其中一個元的一分子」。縱使作者所引出的數學概念較為複雜，但透過一個個天馬行空而有趣的例子，加上每章皆配以引人入勝的標題，帶領著讀者進入一個思巧的世界。所以我認為《集的故事》這本書，確實是教科書以外，一本令人獲益良多的課餘讀物。

 

【讀後感】

 

固守在世俗邏輯思維中的人，對於現實生活中的許多事物，總是關心它「叫」甚麼，而不是在意它「是」甚麼。叫甚麼，只是「概念」的存在，是甚麼，才是「真實」的存在。記得《五燈會元》載有一首禪詩 :

 

「空手把鋤頭，步行騎水牛，人從橋上走，橋流水不流。」

 

動靜與否，無不是暫時的、相對的、人為的，執著一面，便無法了解它的全部。當你明白到那既是「鋤頭」，又甚麼都不是的時候，才算真真正正了悟「真實」這含意，才會真正獲得「我拿著鋤，我空著手。」的灑脫情懷!

 

(20.10.2011)